Konu bilgisayar bilimleri ile doğrudan ilintili olup, ayrıca bir bölümüyle ortaöğretim matematik programlarında bile uygulama alanı bulduğundan, aşağıdaki konuyu gündeme getirme gereksinimi duydum
——————————————————————————————-
MATEMATİKSEL MANTIK, olayları matematiksel yöntemlerle değerlendirme temeline dayalı bir mantık biçimidir. Bunun dört temel kuramı vardır. Bunlar şöyle adlandırılırlar :
● Model Kuramı.
● Kanıt Kuramı.
● Kümeler Kuramı.
● Hesaplanabilirlik Kuramı.
Bu mantık türü daha çok bilgisayar mühendisliğinin hem yazılım, hem de donanım bölümlarinde işe yaradığından, bu konuda eğitim veren bütün Üniversite fakültelerinin ders programları içinde vardır. Modern matematik dediğimiz matematik türünü de içine aldığından, orta öğretim sırasında da öğrencilere, modern matematik başlığı altında, daha ilkel biçimde, bir süredir öğretilegelmektedir. Burada hedef, belki de öğrencileri bilğisayar kuramına yaklaştırmaktır!…
Ne var ki, öğrencilere ana hedefin ne olduğu anlatılıp, bu konuda aydınlanmaları sağlanmadan, kümelerle ilgili bir çok problem verilip çözdürülüyor. Aynı durum, örnekse, cebirde de, türevler konusu için, logaritma için, analitik geometri için de geçerlidir. Orta öğretimde okutulan matematiğin bir çok bölümü için aynı şeyi söylemek olanağı vardır.
Konunun ne olduğu?, Ne için hesaplama yapıldığı?, Ne işe yaradığı? Anlatılmadan doğrudan hesaplamalar ile problemlere geçiliyor. Bu durum, aslında biraz itici olan matematikten daha da uzaklaşmaya neden oluyor.
Ana fikrin ne olduğunu ortalama öğrenci kendiliğinden sezemez. Bu sezgi, ancak dahi düzeyinde yaratılmış çocuklardan beklenebilir. Onlar üzerinde de, durup, gerekli özel eğitimi sağlamayı, nedense hiç düşünemiyoruz!.. Bu durumda, konuyla ilk kez karşılaşan öğrenci, gerçek amacın bilincine varamadan konuyu işleyerek, onunla boğuşup durmaktadır. Bu da yaratıcılığa değil de, bizim eğitimimizin ana niteliği olan ezberciliğe götüren yollardan biri gibi gözüküyor.
Matematiksel mantığın temel kuramlarını ele aldığımızda, bunları tanım düzeyinde ele alıp, derinliğine tartışmalara girmemeyi yeğ tutacağız. Çünkü buna bilgi dağarım, dolaylı olarak gücüm yetmiyebilir.
● Model Kuramı
Model kuramı, matematiksel görüşleri (consept) küme kuramı temelinde inceleyen ya da başka bir deyişle matematiksel sistemlerin dayandığı modelleri araştıran matematik dalıdır. Model kuramı, “dış dünyada” matematiksel nesnelerin var olduğunu varsayar. Nesneler, nesneler arasında bazı işlemler ya da bağlantılar ile aksiyomlar kümesi verildiğinde, nesnelerin nasıl tanıtılabileceğine ilişkin sorular sorar.
Seçim aksiyomu ile süreklilik hipotezinin küme kuramının öteki aksiyomlarından bağımsız olduğunun saptanması, model kuramından doğan en ünlü sonuçlardır (Paul Cohen ile Kurt Gödel). Hem seçim aksiyomunun, hem de seçim aksiyomuna karşı çıkılmasının, küme kuramının Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla uyumlu olduğu tanıtlanmıştır. Bu sonuçlar model kuramının özel bir uygulaması olan aksiomatik küme kuramı dalının bölümleridir.
Böylece model kuramı matematiksel sistemler içinde, nelerin tanıtlanabilir olduğu ile bu sistemlerin kendi aralarındaki ilişkilerle ilgilenir. Özel olarak model kuramı, bir sisteme yeni aksiyomlar ya da yeni dil yapıları eklendiğinde, ne gibi sonuçların ortaya çıktığını araştırır.
● Kanıt Kuramı
Kanıt kuramı, kişinin zihninde oluşmuş tutarlı gerçeklik görüntüsünde, kurama dayanmayan kanıtların bileşimiyle ilgilenen matematik dalıdır.
David Hilbert (1862 – 1943), adına Kanıt Kuramı (Proof Theory) dediği biçimsel matematik dili geliştirdi (1927). Ona gore sezgisel matematik yaparken konuştuğumuz dil, duygularımız, özne (madde) geleneksel çıkarım yöntemlerimize dışarıdan etki uygulamaktadır. Dış etkileri yok etmek için bir matematik dili, yapay bir dil oluşturdu. Yedi ana grupta topladığı 17 formül ile matematik teoremlerini kanıtlayabiliyordu. Ortaya attığı kuramın ilk sunumunu yaparken şöyle diyordu :
“Matematik önyargısızdır. Onu bulmak için Kronocker’in yaptığı gibi Tanrıya, Poincaré’nin yaptığı gibi yeteneklerimize seslenen varsayımlara, Brouer’in yaptığı gibi temel sezgilere, Russel’in yaptığı gibi belirtilere gereksinim yoktur. Matematik formüllerden oluşan kendi içinde kapalı bir sistemdir”.
Hilbert büyük bir matematikçidir. Herkes böyle bir dahinin “akıl oyunları” için yazdığı son perdeyle temsilin bittiğine inanmaktadır. Ta ki Kurt Gödel denen biri çıkıp oyuna hiç bitmeyecek bir perde daha ekliyene kadar!..
Kurt Gödel, 1931 yılında, Eksiklik (incompletness) Teoremi adını verdiği teoremle, bir sistemin tutarlı olup olmadığının, o system içinde kanıtlanamayacağını söylüyordu. Bu sonuç, matematiğin tutarlı olduğunun (matematikle) kanıtlanamayacağının kanıtıydı. Dolaylı olarak, kendi içinde kapalı bir system oluşturduğu sanılan Hilbert formalizminin çöküşü anlamını taşıyordu.
● Kümeler Kuramı
Kümeler kuramının geçerli olduğu sorunlar alanı, kendi alanlarının temelleri üstüne kaygılar taşıyan matematikçilerin oluşturduğu bir alandır. Bolzano’nun 1874 yılında küme, sonsuz küme kavramları, 1867 – 1871 yılları arasında Georg Cantor’un cesur çalışmalarıyla geliştirildi. Cantor’un 1874 te yayınlanan makalesi, kümeler kuramının ortaya çıkışında önemli bir adım olarak görülür.
Cantor, çağının ünlü matematik otoritesi Kronecker’in karşı çıkıp, engellemesine karşı “ sonsuz “ kavramı üzerinde çalıştı. Bu çalışmaları sayılar kuramının içinden çıkmış sorunlarla bütünlrşerek, kümeler kuramının temellerinin kurulmasına yol açtı.
Kümeler kuramının temelleri oluşturulmaya çalışılırken ortaya zengin bir paradokslar kümesi çıktı. Daha once Cantor’un da bulduğu söylenen Burali-Forti paradoksu 1897 de yayınlandı. Russell paradoksu 1902 de, aksiomatik kümeler kuramının oluşumunu gerekli kılan önemli bir paradoks olarak ortaya çıktı. Zermela 1908 de, kümeler kuramının aksiomatik yapısının oluşturulmasında ilk adımı attı. Freankel, von Neumann, Bernays, Gödel, aksiomatik kümeler kuramının geliştirilmesine önemli katkıda bulunan matematikçilerdir.
Bu gün kümeler kuramı, “teknik” açıdan daha yetkin, daha işlevsel bir yapıya kavuşturulmaya çalışılırken, kendisine mühendislikten ekonomiye, yapay zeka çalışmalarına, bilim felsefesine kadar geniş bir uygulama alanı bulabilmektedir
Kümeler kuramı, tartışmalı yanları olmakla birlikte, değişik formel disiplinlerin içinde tanımlanabildiği bir çalışma alanı oluşturuyor. Nikolas Bourbaki 1949 yılında, tüm matematiksel kuramların, genel bir kümeler kuramının genişletilmiş biçimi olabileceğini, kümeler kuramına dayanarak tüm matematiğin kurulabileceğini savunuyordu. İnsanın soyut düşünme çabasında, mantıksal ilişkiler oluştururken, parça ile bütün bağlantılarını anlama uğraşında, kümeler kuramının önemli katkıları olabilir.
Zannederim, Bourbaki’nin öne sürdüğü bu görüş doğrultusunda, “modern matematik” adı altında kümeler bilgisi orta öğretimde matematik programlarına alınmış bulunmaktadır. Belki de bunu yapmakla “bir taşla iki kuş vurulmak” istenilmiştir. Şöyle ki, hem bilgisayar ile robotik alanında işlevi olan bir matematik türü, hem de ilerde bütün matematiği içine alabilecek bir kuramı öğretmek önceliğini kazanmak düşüncesi baskın çıkmıştır.
● Hesaplanabilirlik Kuramı
Hesaplanabilirlik kuramı, hiç kuşku yok ki matematik ile bilgisayar biliminin en ilginç, en önemli görüşlerinden biridir. Buna hangi mantık yapısının neden olduğunu sormamız da doğaldır… Bu soru hiç bir zaman yanıtlanmamış olduğu gibi, bir mantık kapsamlı ya da tutarlı formal çatı içinde de sorulmamıştır. Hesaplanabilirlik Mantığı nereden ortaya çıkmıştır? Bu. Klasik mantıktaki gerçeklik kuramının anlamı gibi bir formal kuramdır.
Hesaplanabilirlik Kuramı, Özyineleme (recursion) Kuramı diye de bilinir, 1930 larda, hesaplanabilir fonksiyonlar ile Turing derceleri’nin irdelenmesiyle ortaya çıkmış bir matematiksel mantık dalıdır. Bu alan içine genel hesaplanabilirlik ile tanımlanabilirliği alarak gelişmiştir. Bu alanlarda, Hesaplanabilirlik Kuramı Kanıt Kuramı ile Tanımsal Küme Kuramıyla örtüşür.
Hesaplanabilirlik Kuramının temel soruları iki tanedir : “Doğal sayılardan oluşmuş bir fonksiyonun, kendi içinde hesaplanabilir olması ne anlam taşır?” ile “Hesaplanamaz olan fonksiyonlar, kendi hesaplanamazlık düzeylerine gore sıradüzenli (hierarchic) bir sıraya konulabilir mi?” Bu soruların yanıtları, halen üzerinde sürekli çalışılan verimli bir kurama bağlıdır.
Matematiksel mantığın Hesaplanabilirlik Kuramı sıklıkla, Görece Hesaplanabilirlik Kuramı, İndergenebilirlik Görüşü (notion) ile Derece Yapıları içinde irdelenir.
