MÜZİĞİN MATEMATİK + FRAKTAL GEOMETRİYLE OLAN İLİŞKİSİ….

“Müzik, gizli bir aritmetik alıştırmasıdır”
Leibniz

Müziğin matematikle olan ilişkisinin varlığına çok gerilerde, M.Ö. 500 lü yıllarda ratlıyoruz. Pitagoras (M.Ö. 580 – 500) sesin incelik ya da kalınlığının, çekilip bırakılan telin uzunluğuna bağlı olduğunu fark ederek müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki ilişkiyi kurdu.

Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin tellerin de armonik sesler verdiği saptanmıştır. Gerçekten de çekilip bırakılan tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı olarak gösterilebilir. Örnekse, (Do) sesini çıkaran bir telin uzunluğunun 15/16’sı (Si) sesini verirken, 5/6 sı ise (La) sesi, 3/4’ü (Sol) sesini, 2/3 ü’ (Fa) sesini, 5/8’i (Mi) sesini, 9/16’u ise (Re) sesini verir.

Görülğü gibi iki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya da iki sayıyı, bu iki sayı arasındaki oranı algılamaktan başka bir şey değildir. Demek ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme (ya da farketme) sorununa eşdeğerdir.

Müziği, belli kurallara uygun olarak oluşturulmuş basit birtakım seslerin birbirlerini izlemesinden oluşan cümleler topluluğu olarak tanımlayabiliriz. Bu kurallar, matematikte mantık kurallarına karşılık gelirler.

İlginç 0larak, bir çok müzik aletinin biçiminin matematiksel kavramlarla ilgili olduğu bir gerçektir. Örnek olarak,   x  >= 0  için y = 2(x.x)  eğrisinin grafiğini gösterebiliriz. Telli ya da üflemeli çalgıların biçimleri bu eğriye uymaktadır.

Müzik kuramcıları (theorist), müzikal yapıları anlamak için matematiği sıkça kullanırlar. Bu da müziksel uygulamalarda set kuramı, abstakt cebir ile sayı kuramına bizi götürür. Müzik bilginleri de, müzik ölçülerini anlamak için matematiği kullandılar. Bazı kompozitörler de çalışmalarında Altın oran ile Fibonacci sayılarını kullandılar

Ernö Lendvai, Béla Bartok’ un çalışmalarını, birbirine karşı olan iki sistem, altın oran ile akustik ölçüleri kullanarak inceler. Fransız kompozitörü Erik Satie yapıtlarında çoğu kez altın oranı kullandı. Onun altın oranı kullanması müziğine öteki dünya simetresini vermiştir.

Altın oran, Debussy’ nin Image, Suda Yansımalar adlı yapıtlarının düzenlemesinde de kendini gösterir. Müzikolog Roy Howat, La Mer adlı yapıtın da tam olarak altın orana uygunluğunu gözlemledi. Başka bir müzikolog Tresize, Debussy’ nin bilinçli olarak bu oranı seçtiğini, yaptığı araştırmalar sonucu olarak bildiriyor.

Yazar Leon Harkleroad’ a göre müzik ile matematiğin buluştuğu nokta Fibonacci sayıları ile Altın orandır. Müzikte Fibonacci sayıları çoğu kez ince ayarları. görsel sanatlarda olduğu gibi, içeriğin uzunluk ya da büyüklüğünü belirler. Béla Batok’ un Yaylılar, Vurmalılar ile Celesta adlı yapıtının birinci bölümünün Fibnacci sayıları kullanılarak oluşturulduğu yaygın bir düşücedir.

Müzik, matematiksel set kuramını, müziksel nesnelerin yapılandırılması ile aralarındaki ilgiyi belirlemek için kullanır. Örnek biçimde atonal bir müzik parçasının yapısını müziksel set kuramını kullanarak analiz etmek için, motive ya da chordları biçimlendirebilen tonların set’inden yola çıkılır.

Bir çok kuramcı, müziksel set kuramı yöntemleri üzerinde açılımlar yaparak, müzik analizi yapmakiçin abstrat cebir kullandı. Örnekse, bir eşit dengeli oktavın notaları, 12 elemanlı bir abelian grubu oluşturur. Gerçekte bunu, serbest abelian grubu terimleriyle, tam intonasyon diye adlandırıyoruz.

Kuramcılar çok daha incelikli cebirsel görüşleri müziksel uygulamalar olarak önerdiler. Matematikçi Guerieno Mazzola topos kuramını müziğe uyguladı. Gerçi bunun sonuçları tartışmalıdır.

Fraktal Geometri ile Müziğin İlgisi :

Bilindiği gibi Fraktal, parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractus kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975′de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı bilinir. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülenb biçimleri, kendine benzer bir cisimde, cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler. Düzensiz ayrıntılar ya da desenler giderek küçülen ölçeklerde yinelenir, tümüyle soyut nesnelerde sonsuza kadar sürebilir; tam tersi de her parçanın her bir parçası büyütüldüğünde, gene cismin bütününe benzemesi olayıdır. Doğada görebilen örnekler bazı bitkilerin yapısıdır.

Fraktallerin karmaşık olması, düzensiz olduklarını göstermez. Burada dikkat edilmesi gereken, bu karmaşanın kendini tekrar eden (periyodik) oluşudur.

Son zamanlarda Kaologların araştırmalarına müzik de girdi. Ünlü bestecilerin yapıtları üzerinde yapılan araştırmalar, bestecilerin seçtikleri notaların, zamanlamaların Fraktal yapılara oturduğunu göstermiştir.

J.S. Bach’ın müziğinde amplitüd’ün fraktal geometrisi incelenmiştir (j.Hsü ile A.J.Hsü). Yazarların bu incelme sonucu yazdıkları makaleden alıntılar şöyle :

“Klasik müzikte bibirini izeyen akustik frekansların aralıkları fraktal bir dağılım içerirler. Seslerin amplitüdünde benzer bir fratal geometri var mıdır?.. Voss ile Clarke müziğin ses yüksekliğini analize ederek, J.S. Bach’ın birinci Brandenburg Koncertosunun ses yüksekliğinde yaklaşık bir fraktal dağılım buldular. Acaba Bach bunun farkında mıydı?..

Bach’ın Toccatasının adagio bölümü incelemeye aşındığında da Fraktal dağılımın var olduğu açık olarak görülüyordu”.

Her şey bir yana, müzik notalara geçirildiğinde, değerler balansı açısından kimya denklemlerini andırır bir görünüm sergiler. Bu yönden, kimya matematikle ne kadar yakından ilgiliyse, müzik te en azından o kadar matamatikle içiçedir.

Kompozitörlerin yapıtlarını meydana getirirken yukardanberi anlatılan matematik kurallarını göz önüne aldıklarını düşünme, bir kaç ayrıcalık dışında, olanağı yoktur. Onlar içlerine doğan esintileri müzik olarak dile getirmişlerdir. Sonradan müzik kuramcıları bu yapıtları incelerken matematik kurallarına uyduklarını saptadılar. Bu yüzden de müzikologlar J.S. Bach’ ın yapıtlarını birer bilimsel çalışma olarak nitelendirirler.

Müzik yazarlarının (kompozitörlerin) yapıtlarını meydana gerirkenen bilinçli olarak matematiği kullanmadıklarına örnek olarak, doğaçlama yoluyla müzik yapan jazz’cılar gösterilebilir. Çünkü jazz yapanlar o anda akıllarına ne geliyorsa onu seslendirirler. Notalamaya da bağlı değillerdir. Bu yüzden birisi ünlü trompetçi Louis Armsrong’ a “Nota olmadan nasıl çalabiliyorsunuz?..” diye sorduğunda, Armstrong’ dan “Kuşa nasıl ötebildiğini soruyor musunuz?..” yanıtını almıştır.

Doğaçlama konusunda jazz kemancısı Stephane Grappelli’ nin şu sözleri ünlüdür :

“Doğaçlama bir gizemdir. Onun için bir kitap yazabilirsiniz, ama kitabın sonuna gelindiğinde hiç kimse, o nedir?.. Gene de bilemez. Ben doğaçlama yaptığım zaman, iyi formda olursam, yarı uykuda biri gibi olurum. Dahası önümde insanlar bulunduğunu unuturum. Büyük doğaçlamacılar papazlar gibidirler, yalnız Tanrılarını düşünmektedirler.”

Kompozitör en önde bir thema’ya (ana fikir) ulaşır . Bu thema’ yı geliştirerek ya da bir tür çeşitlemeye giderek yapıtını oluşturur. Buna en iyi örnek Ludwig Van Beethoven’nin beşinci senfonisinin birinci bölümü gösterilebilir. Bu yapıtta girişteki dört nota ana temadır . Beethoven bu dört nota için “kader kapıyı işte böyle çalar!..” demiştir. Ama kompozitör bu arada, farkına varmadan bir çok matematik kurallarını da kullanmış olur. Matematik kurallarını kullanmada bilinç söz konusu değildir.

————————————————————–

İlgili Kitap ile Makaleler :

B. Mandelbrot : Comment j’ai decouvert les fractales, La Recherche (1986), 420-424.

J., Hsü and A .J., Hsü : Fractal geometry of music. Proc. Natl. Acad. Sci. U S A. 1990 February; 87(3): 938–941.

Dyson, Freeman. : Characterizing Irregularity. Science. 1978 May 12;200(4342):677–678.

Harlan Brothers : Structural Scaling in Bach’s Cello Suite No. 3, the journal Fractals (Vol. 15, No. 1, 2007; pages 89-95). 

Guerino Mazzola :The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser (2002) ISBN 3-7643-5731-2

Bela Bartok: An Analysis of His Music by Erno Lendvai and Alan Bush (Kahn & Averill Publishers, 2005).

Roy Howat : Debussy in Proportion : A Musical Analysis. Cambridge University Press, 1983.

Leon Harkleroad : The Math Behind the Music. Series: Outlooks, ISBN-13: 9780521810951 | ISBN-10: 0521810957).